2ª FonteOrigem: Wikipédia
Teorema de PitágorasO Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:
Passos históricos
Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:
Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.
1. Desenha-se um quadrado de lado a + b;
2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
3. Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se C o comprimento de cada diagonal;
4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a a2 + b2;
5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.
Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: c2
Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a2 + b2 = c2, ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.
Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.
Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.
Algumas demonstrações do teorema adequadas à nossa época
Por semelhança de triângulos
Da figura
e substituindo pelas equações (1) e (2):
Multiplicando tudo por c:
Comparando áreas
Aplicações do teoremaO teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:
QuadradoA diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:
Triângulo equiláteroA altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes; sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:
Generalizações * O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.
* O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.
Pitágoras dizia que"em todo triângulo retângulo, a soma das áreas dois quadrados dos catetos é igual à área dos quadrados da hipotenusa".
O teorema de Pitágoras na geometria esférica e hiperbólicaSeja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:
* na geometria esférica, tem-se
* na geometria hiperbólica tem-se